Question

已知f（x）=x+sinx，x∈[-1，1]，且f(a+

1

3

)+f(2a)＞0，则a的取值范围是

（-

1

2

，

1

3

）

．

Answer 1

分析：先利用条件判断出其奇偶性以及单调性，再对原题所给的不等式变形结合研究出的性质即可得到结论．

解答：解：因为：f（x）=x+sinx
所以；f（-x）=-x+sin（-x）=-（x+sinx）=-f（x）；
∴f（x）是奇函数
又因为：f′（x）=1+cosx，在x∈[-1，1]时f′（x）＞0；
∴f（x）在x∈[-1，1]上递增，．
∴f(a+

1

3

)+f(2a)＞0⇒f（a+

1

3

）＞-f（2a）=f（-2a），
∴

-1＜a+ 1 3 ＜1 -1＜2a＜1 a+ 1 3 ＞2a

⇒-

1

2

＜a＜

1

3

．
故答案为：（-

1

2

，

1

3

）．

点评：本题主要考察了函数奇偶性以及单调性的应用．解决本题的关键在于先研究出其性质，再把不等式等价转化．