Question

已知命题：“x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x²-x-m< 0成立”是真命题，
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x-3a）（x-a-2）<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1）命题：“x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x²-x-m< 0成立”是真命题
得x²-x-m<0在-1≤x≤1恒成立
m>（x²-x）_max
得m>2
即B=（2，+∞）；
（2）不等式（x-3a）（x-a-2）<0
①当3a>2+a，即a>1时解集A为（2+a，3a），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集
∴2+a≥2，此时a；
②当3a=2+a，即a=1时解集A为，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集，成立；
③当2+a >3a，即a<1时解集A为（3a，2+a），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A是B的真子集
∴3a≥2，此时a
综上。