Question

抛物线y=-

x2

2

与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1，
（1）求直线l的方程； （2）求抛物线y=-

x2

2

与直线l围成的图形的面积．

Answer 1

分析：（1）由题意可得设直线l的方程为y=kx-1，联立直线与抛物线的方程可得：x²+2kx-2=0，根据韦达定理可得答案．
（2）由（1）可得|x1-x2| =2

3

，结合S△AOB=

1

2

×1×|x₁-x₂|可得答案．

解答：解：（1）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以联立直线与抛物线的方程可得：x²+2kx-2=0，
所以x₁+x₂=-2k，x₁x₂=-2，
因为OA和OB的斜率之和为1，即

y1

x1

+

y2

x2

=1，
所以

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=2k-

x1+x2

x1x2

=1，
所以k=1，
所以直线方程为y=x-1．
（2）由（1）可得x1=-1+

3

，x2=-1-

3

，
所以|x1-x2| =2

3

，
因为S△AOB=

1

2

×1×|x₁-x₂|，
所以S△AOB=

3

．

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及三角形的面积公式．