题目内容
关于函数f（x）=
cos2x-sin2x，下列命题正确的是
（1）函数f（x）的图象关于直线x=
对称；
（2）函数f（x）在区间（-
，
）内是增函数；
（3）任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1-x2|=kπ，k∈Z
（4）将函数y=2cos2x的图象向左平移
个单位后得到y=f（x）图象．
| 3 |
（1）（4）
（1）（4）
．（1）函数f（x）的图象关于直线x=
| 11π |
| 12 |
（2）函数f（x）在区间（-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
（3）任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1-x2|=kπ，k∈Z
（4）将函数y=2cos2x的图象向左平移
| π |
| 12 |
分析：先将三角函数进行化简，然后分别利用三角函数的图形和性质去判断．
（1）将x=
代入，比较是不是最值；
（2）利用函数的单调性去判断区间；
（3）问题转化为求函数周期问题；
（4）通过平移对比两个表达式是否为同一个表达式．
（1）将x=
| 11π |
| 12 |
（2）利用函数的单调性去判断区间；
（3）问题转化为求函数周期问题；
（4）通过平移对比两个表达式是否为同一个表达式．
解答：解：函数f（x）=
cos2x-sin2x=-2sin（2x-
）．
（1）当x=
时，f（
）=-2sin（2×
-
）=-2sin
=2为函数f（x）最大值，
所以x=
是函数的一条对称轴，所以（1）正确．
（2）当x∈（-
，
）时，-
＜2x＜
，-
＜2x-
＜
，此时函数单调递减，所以（2）不正确．
（3）由于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则f（x1）=f（x）|最小值，f（x2）=f（x）|最大值，
则|x1-x2|=kπ，k∈N*，故（3）不正确；
（4）由y=2cos2x的图象向左平移
个单位长度，
得到y=2cos2(x+
)=y=2cos(2x+
)=2sin[
-(2x+
)]=2sin(
-2x)═-2sin(2x-
)．
所以（4）正确．所以正确的是（1）（4）
故答案为：（1）（4）．
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）当x=
| 11π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
所以x=
| 11π |
| 12 |
（2）当x∈（-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（3）由于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则f（x1）=f（x）|最小值，f（x2）=f（x）|最大值，
则|x1-x2|=kπ，k∈N*，故（3）不正确；
（4）由y=2cos2x的图象向左平移
| π |
| 12 |
得到y=2cos2(x+
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
所以（4）正确．所以正确的是（1）（4）
故答案为：（1）（4）．
点评：本题考查三角函数的图象和性质，先利用辅助角公式将三角函数进行化简，然后在研究相应的性质
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