Question

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=，
(1)求椭圆C₁的方程；
(2)平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C₁交于A，B两点，若，求直线l的方程．

Answer 1

解：(1)由C₂：y²=4x知F₂(1，0)，设M(x₁，y₁)，
因为，所以，得，
又M在C₁上，且椭圆C₁的半焦距c=1，于是，
消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0，解得a=2(不合题意，舍去)，，
故椭圆C₁的方程为。
(2)由知四边形MF₁NF₂是平行四边形，
其中心为坐标原点O，因为l∥MN，
所以l与OM的斜率相同，故l的斜率，
设l的方程为，
由消去y并化简得9x²-16mx+8m²-4=0，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则，
因为，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6(x₁-m)(x₂-m)
=7x₁x₂-6m(x₁+x₂)+6m²
，
所以，
此时Δ=(-16m)²-4×9(8m²-4)＞0，
故所求直线l的方程为或。