Question

（2012•卢湾区二模）已知集合A={x|x=cos2

(2n-1)π

m

，n∈Z}，当m为4022时，集合A 的元素个数为

1006

．

Answer 1

分析：把集合A中的函数利用二倍角的余弦函数公式化简后，根据n为整数，2n-1表示奇数，得到2011中有1006个奇数，其余的值经过化简都等于1006个值中的某一值，得到cos

(2n-1)π

2011

的值有1006个，进而得到答案．

解答：解：当m为4022时，A中的元素 x=cos2

(2n-1)π

m

=

1+cos 2(2n-1)π 4022

2

=

1

2

+

1

2

•cos

(2n-1)π

2011

．
而函数t=cos

(2n-1)π

2011

的值，具有周期性，周期为π．
又n∈Z，2n-1为奇数，2011中有1006个奇数，所以cos

(2n-1)π

2011

有1006个值，
其余的值经过化简都等于1006个值中的某一值，
则cos

(2n-1)π

2011

就有1006个值，所以集合A中的元素个数为1006．
故答案为：1006．

点评：本题主要考查余弦函数的周期性，掌握集合中元素的互异性，属于中档题．