Question

【题目】已知点为抛物线：的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线：与抛物线交于不同的两点，是否存在实数及定点，对任意实数，都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）存在及点，对任意实数m，都有.

【解析】

（1）由得点A横坐标为，由抛物线定义及得，，从而得解；

（2）设，由得，再由直线与抛物线联立及韦达定理代入即可得解.

(1) 由得点A横坐标为，

由抛物线定义及得，，所以，

所以抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)假设存在实数t及定点P，对任意实数m，都有，

设，

联立得y2,

则y1＋y2＝,y1y2＝,=,

由得

=

=，

所以，

当时不满足题意，所以，

即存在及点，对任意实数m，都有.