题目内容

若平面α的法向量为
μ
，直线l的方向向量为
v
，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（　　）
分析：若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所成的角为β，则sinθ=|cosβ|，利用向量的夹角公式即可得出．
解答：解：若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所成的角为β，则sinθ=|cosβ|=
|
u
•
v
|
|
u
| |
v
|
．
故选D．
点评：熟练掌握线面角与平面的斜向量与法向量的夹角的关系是解题懂得关键．
练习册系列答案
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若平面α，β的法向量分别为（-1，2，4），（x，-1，-2），并且α⊥β，则x的值为（　　）
若平面α，β的法向量分别为
u
=(2，-3，4)，
v
=(-3，1，-4)，则（　　）
若平面α、β的法向量分别为
m
=（1，-5，2），
n
=（-3，1，4），则（　　）
A、α⊥β
B、α∥β
C、α、β相交但不垂直
D、以上均不正确

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

又因为,………………2分

又，得证。

第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

又因为,又………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

 

若平面α，β的法向量分别为u＝(－2, 3，－5)，v＝(3，－1, 4)，则(　　)

A．α∥β                        B．α⊥β

C．α、β相交但不垂直            D．以上均不正确

 

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