Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件：（1）f（-1+x）=f（-1-x）；（2）函数在y轴上的截距为1，且f（x+1）-f（x）=x+

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[t，t+1]，f（x）的最小值为h（t），请写出h（t）的表达式；
（3）若不等式πf(x)＞(

1

π

)1-tx在t∈[-2，2]时恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得对称轴-

b

2a

=-1、且c=1、且a（x+1）²+b（x+1）+c-[ax²+bx+c]=x+

3

2

，解得a、b、c的值，
可得函数f（x）的解析式．
（2）由f（x）的对称轴为x=-1，分当t+1＜-1、当 t≤-1≤t+1、当t＞-1三种情况，分别利用二次函数的
性质，求得函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值h（t）=f（t）的解析式，综上可得结论．
（3）由题意可得 f（x）＞tx-1在t∈[-2，2]时恒成立，即xt-

1

2

x²-x-2＜0 在t∈[-2，2]时恒成立．
令关于t的一次函数m（t）=xt-

1

2

x²-x-2，则由题意可得

m(-2)＜0 m(2)＜0

，由此解得x的范围．

解答：解：（1）由题意可得对称轴-

b

2a

=-1、且c=1、且a（x+1）²+b（x+1）+c-[ax²+bx+c]=x+

3

2

，
解得 a=

1

2

，且 b=1，且c=1，故有f(x)=

1

2

x2+x+1．…（4分）
（2）由x∈[t，t+1]，f（x）的对称轴为x=-1，且f（x）的最小值为h（t），
当t+1＜-1，即t＜-2时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是减函数，h（t）=f（t+1）=

1

2

t²+2t+

5

2

．
当 t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1时，h（t）=f（-1）=

1

2

，
当t＞-1时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是增函数，h（t）=f（t）=

1

2

t²+t+1．
综上可得，h(t)=

1 2 t2+2t+ 5 2 ，t＜-2 1 2 ，-2≤t≤-1 1 2 t2+t+1 ，t＞-1

．--------（10分）
（3）由不等式πf(x)＞(

1

π

)1-tx在t∈[-2，2]时恒成立，可得 f（x）＞tx-1在t∈[-2，2]时恒成立，
即

1

2

x²+（1-t）x+2＞0 在t∈[-2，2]时恒成立，
即xt-

1

2

x²-x-2＜0 在t∈[-2，2]时恒成立．
令关于t的一次函数m（t）=xt-

1

2

x²-x-2，则由题意可得

m(-2)＜0 m(2)＜0

，
即

-2x- 1 2 x2-x-2＜0 2x- 1 2 •x2-x-2＜0

，解得x＜-3-

5

，或 x＞-3+

5

，
故x的范围为（-∞，-3-

5

）∪（-3+

5

，+∞）．-----（14分）

点评：本题主要考查复合函数的单调性，指数不等式的解法，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．