Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-a|+2x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈（-2，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）≥2x+1可化为|x-2|≥1．直接求出不等式f（x）≥2x+1的解集即可．
（Ⅱ）求出函数f（x）的解析式，利用a＞0，x∈[a，+∞）以及x∈（-2，a），求出函数的最小值，f（x）＞0即可求解a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）≥2x+1可化为|x-2|≥1．
由此可得  x≥3或x≤1．
故不等式f（x）≥2x+1的解集为{x|x≥3或x≤1}．
（2）函数f（x）=

3x-a    x≥a x+a     x＜a

，
因为0＜a，所以x∈[a，+∞）上，f（x）≥f（a）=2a＞0，x∈（-2，a）上f（x）＞f（-2）=-2+a
若x∈（-2，+∞）时，恒有f（x）＞0，
∴a≥2，
实数a的取值范围为：[2，+∞）．

点评：此题考查了其他不等式的解法，分类讨论的数学思想，是一道综合题．