Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的单调区间;

（2）是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）结合的定义域，以及导数的零点的情况，确定分类讨论的标准为，从而求出对应的单调区间.

（2）由（1）可知，只有当时，在定义域内有一个零点，即为的极大值点.要使得极大值，等价转化为使得，再结合导函数的性质，即可得求得的范围.

（1）函数的定义域为.

①当时，，∵ ∴

∴ 函数单调递增区间为.

② 当时，令得， .

（ⅰ）当，即时， ，

∴ 函数的单调递增区间为.

（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为

，.

若，则，此时，当时，.

∴函数的单调递增区间为，

若，则，

此时，当时，,单调递增

当时， 单调递减

综上，当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为.

（2）解：由(1)得当时，函数在上单调递增，

故函数无极值；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为

；

则有极大值，其值为， 其中.

而，∴

设函数，则，

则在上为增函数.

又，故等价于.

因而 等价于.

即在时，方程的大根大于1，

设，由于的图象是开口向下的抛物线，且经过点(0,1)，对称轴，则只需，即

解得，而，

故实数的取值范围为.