Question

【题目】已知函数（，）， （）.

（1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围；

（2）判断在和的单调性，并说明理由；

（3）证明：函数存在零点q，使得成立的充要条件是．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）代入解得；（2）用定义证得在递减，在上递增；（3）充分性：当时，有，得，成立；必要性：由成立，可得，得，，有，成立。

试题解析：

(1) 由，得

（2）设 ，

当 时， ， ，，， ，

有，， .

当 时， ， ，，， ，有，， .

当时， ， ，，， .

在递减，在和上递增，从而在上递增.

(3) 充分性：当时，有，又，函数在内的图像连续不断，故在内一定存在零点且 ，有，得，从而.

必要性：当时，.

当时，由成立，可得从而得，，由（2）中的结论可知在递减，在递增，从而，或 .

从而，时，有.