Question

已知函数f（x）=（x-2）²，f′（x）是函数f（x）的导函数，设由a₁=3，a_n+1=a_n-

f(an)

f′(an)

，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）f′（x）=2（x-2），由a_n+1=a_n-

f(an)

f′(an)

，可得a_n+1=a_n-

(an-2)2

2(an-2)

，变形an+1-2=

1

2

(an-2)，利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由题意b_n=na_n=

n

2n-1

+2n，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）f′（x）=2（x-2），由a_n+1=a_n-

f(an)

f′(an)

，
可得a_n+1=a_n-

(an-2)2

2(an-2)

，化为an+1=

1

2

an+1，变形an+1-2=

1

2

(an-2)，
∴{a_n-2}是以a₁-2=1为首项，公比为

1

2

的等比数列，
∴an-2=(a1-2)•(

1

2

)n-1，
∴a_n=2+(

1

2

)n-1．
（Ⅱ）由题意b_n=na_n=

n

2n-1

+2n，
设数列{

n

2n-1

}的前n项和为T_n，
则T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…

n-1

2n-1

+

n

2n

，

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2+n

2n

，
即T_n=4-

2+n

2n-1

，
∴S_n=T_n+n²+n=4-

n+2

2n-1

+n²+n．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．