Question

【题目】已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当时，有.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点，试问在铀上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在， T（4，0）

【解析】

（1）由题意，．故．然后设点坐标为，代入椭圆方程，联立椭圆定义，进一步计算可得椭圆的标准方程；

（2）假设存在与不重合的定点，使得恒成立，则，设出、、点坐标代入计算，可得．然后设直线．联立直线与椭圆方程，消去整理可得一元二次方程，根据韦达定理有，．然后代入进行计算可判断是否是定值，即可得到结论．

解：（1）由题意，．故．

可设点坐标为，则

，解得，即．

，解得．

，．

椭圆的标准方程为．

（2）由题意，假设存在与不重合的定点，使得恒成立，

设，，且，，，，，则

，．

，

，即．

整理，得．

设直线．

联立，

消去，整理得．

，．

．

．

存在与不重合的定点，使得恒成立，且点坐标为．