Question

在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，点E，F，G分别在PD，AD，AC上，且PE：ED=AF：FD=CG：GA=2：1．
（1）证明：PA∥平面EFG；
（2）证明：AC⊥EG．

Answer 1

分析：（1）根据平行线分线段成比例定理可得PA∥EF，进而由线面平行的判定定理可得PA∥平面EFG；
（2）连接BD，交AC于点O，由等腰三角形三线合一及正方形对角线相互垂直，易证得EF⊥底面ABCD，再由线面垂直的定义可得答案．

解答：证明：（1）由PE：ED=AF：FD得PA∥EF…（3分）
又EF?平面EFG，PA?平面EFG，
故PA∥平面EFG…（6分）
（2）如图，连接BD，交AC于点O，则AC⊥BD，且O为AC的中点，
由CG：GA=2：1，得AG=

1

3

AC，OG=OA-AG=

1

2

AC-

1

3

AC=

1

6

AC，
故AG：GO=2：1
故AG：GO=AF：FD，故GF∥OD，即GF∥BD
又AC⊥BD，故AC⊥GF…（8分）
因为PA⊥底面ABCD，PA∥EF，所以EF⊥底面ABCD，
又AC?底面ABCD，故AC⊥EF…（10分）
所以AC⊥平面EFG，故AC⊥EG…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是在平面EFG上找到与PA平行的直线，而（2）的关键是熟练掌握空间线面垂直，线线垂直之间的相互转化