Question

已知f（x）=x³-

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x²-2x+c，常数c是实数．
（I）当f（x）取得极小值时，求实数x的值；
（II）当-1≤x≤2时，求f（x）的最大值．
（II）当-1≤x≤2时，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（I）∵f（x）=x³-

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x²-2x+c
∴f′（x）=3x²-x-2
∴方程f′（x）=3x²-x-2=0的两个根为-

2

3

和1，
∵当-

2

3

＜x＜1时，f′(x)＜0
当x＞1时，f′（x）＞0，
∴当x=1时，f（x）取得极小值．
 （II）由（I）知：f′（x）=3x²-x-2
∵当x∈[-1，-

2

3

）时，f′（x）＞0，
当x∈(-

2

3

，1)时，f′（x）＜0，
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，
∴当x∈[-1，-

2

3

）时，f（x）是增函数．
当x∈(-

2

3

，1)时，f（x）是减函数．
当x∈（1，2]时，f（x）是增函数．
所以当-≤x≤2时，f（x）的最大值只可能在x=-

2

3

或者在x=2处取到．
又因为f（-

2

3

）=

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+c，f（2）=2+c
所以f（2）＞f（-

2

3

）
所以当-1≤x≤2时，f（x）的最大值为f（2）=2+c．
（III）当-1≤x≤2时，f（x）＜c²恒成立的充要条件是f（x）_最大值＜c²
所以f（2）＜c²即c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2．
所以c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．