Question

已知向量

a

=（1，1），

b

=（1，0），向量

c

满足

a

•

c

=0且|

a

|=|

c

|，

b

•

c

＞0．
（I）求向量

c

；
（Ⅱ）映射f：（x，y）→（x′，y′）=x•

a

+y•

c

，若将（x，y）看作点的坐标，问是否存在直线l，使得直线l上任意一点P在映射f的作用下仍在直线l上？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出向量的坐标根据已知条件列出式子解出坐标，然后验证是否满足

b

•

c

＞0；
（2）由映射写出象的坐标建立方程，由两方程表示同一直线比较系数可得b、k的值．

解答：解：（1）设

c

=（x，y），由题意可得

a • c =x+y=0 | a |=| c |= x2+y2 = 12+12

解方程组得

x=1 y=-1

或

x=-1 y=1

，
经验证当

x=-1 y=1

时不满足

b

•

c

＞0，当

x=1 y=-1

时满足题意，
故

c

=（1，-1）．
（2）假设直线l存在，∴x

a

+y

c

=（x+y，x-y），∵点（x+y，x-y）在直线l上，
因此直线l的斜率存在且不为零，设其方程为y=kx+b（k≠0），
∴x-y=k（x+y）+b，即（1+k）y=（1-k）x-b，与y=kx+b表示同一直线，
∴b=0，k=-1±

2

．
故直线l存在，其方程为y=（-1+

2

）x，或y=（-1-

2

）x．

点评：本题为向量的基本运算，涉及直线的方程的应用，属中档题．