Question

如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC，
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB．

Answer 1

分析：（1）证明EC∥平面PDA，BC∥平面PDA，可得平面BEC∥平面PDA，由BE?平面EBC，得到 BE∥平面PDA．
 （2）连接AC与BD交于点F，证明四边形NFCE为平行四边形，证明AC⊥面PBD，即可得到NE⊥面PDB．

解答：解：（1）证明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA．
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，∴平面BEC∥平面PDA，
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．
（2）证明：连接AC与BD交于点F，连接NF，∵F为BD的中点，∴NF∥PD，且NF=

1

2

PD．
又EC∥PD，且EC=

1

2

PD，∴NF∥EC且NF=EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC．
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB．

点评：本题考查线面平行、线面垂直的方法，证明四边形NFCE为平行四边形，是解题的关键．