Question

如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°，则线段PD是线段AD的几倍？

Answer 1

分析：（1）根据面面垂直的性质，先证明平面BEC∥平面PDA，然后求证：BE∥平面PDA；
（2）延长PE交DC于F，确定二面角PBE与平面ABCD平面角，建立方程求解PD和AD的关系．

解答：解：（1）∵EC∥PD，ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∵EC∩BC=C，
∴平面BEC∥平面PDA，
又BE?平面BEC，
∴BE∥平面PDA．
（2）延长PE交DC于F，
∵PD=2EC，
∴E，C分别是PF和DF的中点，
连结BF，
则∠DBF=90°，
∵PD⊥平面ABCD，
∴BF⊥平面PBD，
∴∠PBD是平面PBE与平面ABCD所成的二面角，
即∠PBD=45°．
∵ABCD为正方形，则BD=

2

AD，
∴此时PD=BD=

2

AD，
即线段PD是线段AD的

2

倍．

点评：本题主要考查线面平行的判断以及二面角的应用，利用面面平行的性质是解决本题的关键，考查学生的推理能力．