Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD；四边形ABCD是菱形，边长为2，∠BCD=60°，经过AC作与PD平行的平面交PB与点E，ABCD的两对角线交点为F．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）若，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据条件得到AC⊥BD结合PD⊥平面ABCD，推得AC⊥平面PBD进而得到结论；
（Ⅱ）先根据条件得到EF是△PBD的中位线且得到，再结合体积相等即可求出结论．
解答：解：（Ⅰ）证明：连接DE．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．    （2分）
又因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC．                             （4分）
而PD∩BD=F，
所以AC⊥平面PBD．又DE?平面PBD，
所以AC⊥DE．            （6分）
（Ⅱ）连EF．设点D到平面PBC的距离为h
由题PD∥平面ACF，
平面ACF∩平面PDB=EF
所以PD∥EF                                                               （8分）
点F是BD中点，则EF是△PBD的中位线，

，故
正三角形BCD的面积                                （9分）
由（Ⅰ），知PD⊥平面BCD，V_P-BCD=S_△BCD•PD=××2=2           （10分）
∵V_P-BCD=V_D-BCP=•S_△BCP•h，
∵C=PB=4，         （12分）
所以  •h=2⇒h=                                                  （13分）
故点D到平面PBC的距离为．                                              （14分）
点评：本题考查的知识点是线线垂直以及点到面的距离．一般在证明线线垂直时，常转化为证明线面垂直，得到线线垂直．