Question

已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以，        所以，

        因为椭圆的离心率为，        所以，即  ，

        解得，                                         

        所以椭圆的方程为.                      

  （Ⅱ）设，，

    ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

    由得，

所以，                          

因为，即为中点，所以，即.

    所以，                             

    因为直线，    所以，所以直线的方程为，

即 ，显然直线恒过定点.   

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线为轴，也过点.                     

综上所述直线恒过定点.