题目内容

如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．

(1)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；

(2)求顶点C到侧面A1ABB1的距离；

(3)求异面直线A1C与BC1所成的角．

答案：
解析：

　　(1)取AC中点D连A1D，则易知A1D底面，取AB中点E，连，可得DE∥BC且DEBC，∴DE⊥AB，由三垂线定理可得A1E⊥AB，∴∠A1ED为侧面A1ABB1与底面ABC的所成二面角的平面角

　　∵A1D＝DE＝1　∴A1ED＝60°，面A1ABB1与底面ABC的所成二面角为60°　　4分

　　(2)设C到侧面A1ABB1的距离为h，∴

　　又∵

　　即顶点C到侧面A1ABB1的距离为．　　8分

　　(3)取点为坐标原点，过点垂直于的直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．易得：、、、，∴，，

　　∴

　　∴异面直线与所成的角为　　12分


练习册系列答案
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精英家教网（甲）如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，又AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求侧棱A1A与底面ABC所成的角的大小；
（2）求侧面A1B与底面所成二面角的大小；
（3）求点C到侧面A1B的距离．
（乙）在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（1）求证：A'F⊥C'E；
（2）当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF-B的大小（结果用反三角函数表示）．
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为
π3
，顶点B1在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求证：侧面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）证明：B1C⊥AB；
（3）求二面角B1-BC-A的正切值．
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为
π3
，顶点B1在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求证：侧面ABB1A1⊥底面ABC；
（2）证明：B1C⊥C1A；
（3）求二面角B1-BC-A的大小．
（2011•孝感模拟）如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成的角为θ，且
AB1⊥BC1，点B1在底面上的射影D在BC上．
（I）若D点是BC的中点，求θ；
（Ⅱ）若cosθ=
13
，且AC=BC=AA1=a，求二面角C-AB-C1的大小．
（2012•梅州二模）如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点B1在底面ABC上的射影落在BC上，CA=CB=a，AB=
2
a．
（1）求证：AC⊥平面BCC1B1；
（2）当BB1与底面ABC所成的角为60°，且AB1⊥BC1时，求点B1到平面AC1的距离．

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