Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos（ωx+\frac{π}{6}）$（0＜ω＜3）的图象过点A（$\frac{π}{4}$，0）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）记g（x）=f（x）+sin2x，若α∈（0，π），且g（$\frac{α}{2}$）=0，求α的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差角（辅助角）公式，可得f（x）=cosωx，将点A（$\frac{π}{4}$，0）代入结合0＜ω＜3，可得ω的值，进而得到函数的周期；
（2）利用和差角（辅助角）公式，可得g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），结合α∈（0，π），且g（$\frac{α}{2}$）=0，可得α的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos（ωx+\frac{π}{6}）$=sin（ωx+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=cosωx的图象过点A（$\frac{π}{4}$，0）．
∴cos$\frac{ωπ}{4}$=0，
又∵0＜ω＜3，
∴ω=2，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由（1）得：函数f（x）=cos2x，
∴g（x）=f（x）+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
若（$\frac{α}{2}$）=0，
则sin（α+$\frac{π}{4}$）=0，
又∵α∈（0，π），
∴$α=\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，二倍角公式和和差角（辅助角）公式，难度中档．