题目内容

已知函数（其中为常数）.
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时，设函数的3个极值点为，且.证明：.

(Ⅰ)单调减区间为,；增区间为.(Ⅱ)详见解析.

解析试题分析：(Ⅰ)将代入，然后求导便可得其单调区间.
(Ⅱ)我们分以下几步来分析.
第一步、对求导得：.显然是它的一个极值点，下面我们要弄清楚应该是还是.另两个极值点便是方程的根.对这个方程，我们不可能直接解，所以接下来就利用导数研究函数.
第二步、对求导得：
∴函数在上单调递减，在上单调递增
当时，，.又，
所以在上必有一个极值点.
因为，所以，，
∴的两个零点必有一个小于（实际上比还小），而另一个大于1，
∴.
∴当时，是函数的两个零点，且.
即有.这样问题转化为在该条件下证明.那么这个不等式如何证呢？
第三步、注意到待证不等式中不含，故考虑消去，找到之间的关系式.
消去有.
令，有零点.
∴函数在上递减，在上递增，在处取得极小值.由于，所以.
因为.

所以要证明，只需证.那么这个不等式又如何证明呢？
因为函数在上递增，所以转化为证.
 即证.
这个不等式，通过构造函数，再利用导数就很容易证明了.
试题解析：(Ⅰ)求导得：.
令可得.列表如下:

练习册系列答案
相关题目

已知函数：
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对于任意的，若函数在 区间上有最值，求实数的取值范围.

设函数f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e为自然对数的底数）
（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；
（2）是否存在一次函数h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由：
3）数列{}中，a1＝1，＝g（）（n≥2），求证：＜＜＜1且＜．

设和是函数的两个极值点，其中，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的最大值．注：e是自然对数的底．

已知函数，（且）.
（1）设，令，试判断函数在上的单调性并证明你的结论；
（2）若且的定义域和值域都是，求的最大值；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

已知函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极大值和极小值，若函数有三个零点，求的取值范围.

己知函数 .
(I)求的极大值和极小值；
(II)当时，恒成立，求的取值范围.

设二次函数的图像过原点，，的导函数为，且，
（1）求函数，的解析式；
（2）求的极小值；
（3）是否存在实常数和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.

已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若函数没有零点，求的取值范围.

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网