Question

【题目】数列的前项和为且满足，（为常数，）．

（1）求；

（2）若数列是等比数列，求实数的值；

（3）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，

【解析】

（1）由，得，可知数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的前项和得答案；

（2）由数列是等比数列，得．结合已知求出，，代入可得；

（3）当时，由（1）及，得，即数列是一个无穷等差数列．当，满足题意．当时，利用反证法证明，从数列不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列．

（1）由，得．

∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，

则；

（2）若数列是等比数列，则．

∵，，

∴，．

∴，得；

（3）当时，由（1）及，得，

即数列是一个无穷等差数列．

∴当，满足题意．

当时，∵，，即．

下面用反证法证明，当，从数列不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列．

假设存在，从数列可以取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列．不妨记为，

设数列的公差为．

（1）当时，，

∴数列是各项为正数的递减数列，则．

∵，

∴当，即，即时，，这与矛盾．

（2）当时，令，解得，

当时，恒成立，

∴数列是各项为负数的递增数列，则．

∵，∴，与矛盾．

综上所述，是唯一满足条件的的值．