Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（1，

3

2

），且其右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合．
①求椭圆C₁的方程；
②直线l经过点F与椭圆C₁相交于A、B两点，与抛物线C₂相交于C、D两点．求

|AB|

|CD|

的最大值．

Answer 1

分析：①首先求出抛物线的焦点坐标，则c可求，结合椭圆的隐含条件及点M（1，

3

2

）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；
②分直线l的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出A，B，C，D四点的坐标，则

|AB|

|CD|

的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把

|AB|

|CD|

用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值．

解答：解：如图，
①解法1：由抛物线方程为y²=4x，得其焦点F（1，0），
∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1．
故a²-b²=c²=1                            ①
又椭圆C₁经过点M(1，

3

2

)，∴

1

a2

+

9

4b2

=1     ②
由①②消去a²并整理，得，4b⁴-9b²-9=0，解得：b²=3，或b2=-

3

4

（舍去），
从而a²=b²+1=4． 故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
解法2：由抛物线方程，得焦点F（1，0），
∴c=1．
∴椭圆C₁的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∵椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（1，

3

2

），
∴2a=

(1+1)2+( 3 2 -0)2

+

(1-1)2+( 3 2 -0)2

=4．
∴a=2，则a²=4，b²=a²-c²=4-1=3．
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
②当直线l垂直于x轴时，
则A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），C（1，2），D（1，-2）．∴

|AB|

|CD|

=

3

4

．
当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x-1）．
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
△=（-8k²）²-4×（3+4k²）×（-12）=64k⁴+192k²+144＞0．
∴方程有两个不等的实数根．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4(k2-3)

3+4k2

．
所以，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 8k2 3+4k2 )2- 16(k2-3) 3+4k2

=

12(1+k2)

3+4k2

．
由

y=k(x-1) y2=4x

，得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
∵k≠0，∴x3+x4=2+

4

k2

，
由抛物线的定义，得|CD|=x3+x4+2=4+

4

k2

=

4(1+k2)

k2

．
∴

|AB|

|CD|

=

12(1+k2)

3+4k2

•

k2

4(1+k2)

=

3k2

3+4k2

=

3

4+ 3 k2

＜

3

4

．
综上，当直线l垂直于x轴时，

|AB|

|CD|

取得最大值

3

4

．

点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想，考查了弦长公式，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．