Question

【题目】已知函数，，其中．

(I)当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)证明： 在区间上恰有2个零点．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出在的导数即可得切线的斜率，也就得到在处切线方程．（Ⅱ）先研究函数的单调性，其导数为，当时，利用三角函数的符号可以判断出，当时，导数有唯一的零点且为函数的极大值点．结合， 可以判断在存在一个零点，在上存在一个零点，故在上存在两个不同的零点．

解析：（Ⅰ）当时， ，所以，故，又，故曲线在的切线方程为．

（Ⅱ）．

当时，因为，故，所以在是单调增函数；

当时， ，令，此方程有唯一解．

当时， ， 在上是单调增函数；

当时， ， 在上是单调减函数；

因为的图像是不间断的，所以在上是单调增函数，在上是单调减函数． 又， ，而，故，根据零点存在定理和的单调性可知在存在一个零点，在上存在一个零点，故在上存在两个不同的零点．