题目内容

已知函数h(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，h()=16，h(1)=8，求h(x)及其定义域.

思路分析：本题中已知函数的模型，用待定系数法求解析式.

解：设f(x)=k1x(k1≠0)，g(x)=(k2≠0)，则h(x)=k1x+.

由题意，得解得k1=3,k2=5.

所以h(x)=3x+，定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).

练习册系列答案
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若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；
（2）已知函数h(x)=lg
ax2+1
具有性质M，求a的取值范围
已知函数h(x)=
f(x)
g(x)
，x∈(0，3]，g(x)≠0，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，则（　　）
已知函数h(x)=
x2-4x+m
x-2
(x∈R，且x＞2），函数y=t（x）的图象经过点（4，3），且y=t（x）与y=h（x）的图象关于直线y=x对称，将函数y=h（x）的图象向左平移2个单位后得到函数y=f（x）的图象．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g(x)=f(x)+
a
x
，g(x)在区间（0，3]上的值不小于8，求实数a的取值范围．
（III）若函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（a，b）（其中x1≠x2），有
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)，称函数f（x）在（a，b）的图象是“下凸的”．判断此题中的函数f（x）图象在（0，+∞）是否是“下凸的”？如果是，给出证明；如果不是，说明理由．
已知函数h(x)=ln(x+
3
2
)，g(x)=lnx，f(x)=
a
x
(a＞0)．
（Ⅰ）求函数G（x）=h（x）+f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=2，问是否存在实数t＞0，使得函数F（x）=h（x）-tg（x）+f（x）有两个相异的零点？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

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