Question

已知函数h(x)=ln(x+

3

2

)，g(x)=lnx，f(x)=

a

x

(a＞0)．
（Ⅰ）求函数G（x）=h（x）+f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=2，问是否存在实数t＞0，使得函数F（x）=h（x）-tg（x）+f（x）有两个相异的零点？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别把f（x）和h（x）的解析式代入G（x）中，求出函数的定义域及G′（x）=0时x的值，令导函数大于0解出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的值即为函数的减区间；
（II）先假设存在t符合条件，根据题意求出F（x）的解析式和定义域，再进行求导并对其整理，再由定义域和条件进行转化：(1-t)x2-

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2

tx-2=0有两个相异的正实根，利用韦达定理表示出两根之和、积，并判断出符号，再对t分类讨论进行说明．

解答：解：（Ⅰ）由题意G(x)=ln(x+

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2

)+

a

x

，
∴G（x）的定义域为{x| x＞-

3

2

且x≠0}，

∵G/(x)= 1 (x+ 3 2 ) - a x2

=

x2-ax- 3 2 a x2(x+ 3 2 )

，
由G^′（x）=0得，x2-ax-

3

2

a=0，

∵a＞0

，∴

△=a2+6a＞0

，
∴

x1= a- a2+6a 2 ＞- 3 2

，

x2= a+ a2+6a 2 ＞0

，
由G^′（x）＞0得，

x＜x1

或

x＞x2

；由G^′（x）＞0得，

x1 ＜ x＜x2

，且x≠0，
∴G（x）在

(- 3 2 ， a- a2+6a 2 )，( a+ a2+6a 2 ，+∞)

上是增函数，
在

( a- a2+6a 2 ，0)，(0， a+ a2+6a 2 )

上是减函数；
（Ⅱ）假设存在实数t＞0，使得函数F(x)=ln(x+

3

2

)+

2

x

-tlnx（x＞0）有
相异的零点为x₁，x₂，则x₁＞0，x₂＞0，
∴F′(x)=

1

x+ 3 2

-

t

x

-

2

x2

=

x2-tx(x+ 3 2 )-2

x2(x+ 3 2 )

=

(1-t)x2- 3 2 tx-2

x2(x+ 3 2 )

，
令y=(1-t)x2-

3

2

tx-2，
由题意得，F^′（x）=0有两个相异的正实根，
即(1-t)x2-

3

2

tx-2=0有两个相异的正实根，
∴t≠1，且

x1+x2= 3t 2(1-t) ＞0 x1•x2= -2 1-t ＞0

，
∴当0＜t＜1时，有1-t＞0，则

x1+x2= 3t 2(1-t) ＞0 x1•x2= -2 1-t ＜0

，故舍去；
当t＞1时，有1-t＜0，则

x1+x2= 3t 2(1-t) ＜0 x1•x2= -2 1-t ＞0

，故舍去，

综上，不存在t＞0满足条件．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查存在性问题，突出考查构造函数与转化，分类讨论数学思想及综合分析与运算的能力，属于难题．