题目内容

已知F1、F2分别为双曲线
x 2
a 2
-
y 2
b 2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得
|PF2|2
|PF1|
=8a，则双曲线的离心率的取值范围是______．
∵P为双曲线左支上一点，
∴|PF1|-|PF2|=-2a，
∴|PF2|=|PF1|+2a，①
又
|PF2|2
|PF1|
=8a，②
∴由①②可得，|PF1|=2a，|PF2|=4a．
∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即2a+4a≥2c，
∴
c
a
≤3，③
又|PF1|+|F1F2|＞|PF2|，
∴2a+2c＞4a，
∴
c
a
＞1．④
由③④可得1＜
c
a
≤3．
故答案为：（1，3]．
练习册系列答案
相关题目
已知F1、F2分别为椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，Q是y轴上的一个动点，若|
PF1
|-|
PF2
|=4，则
PQ
•（
PF1
-
PF2
）=
 
已知F1，F2分别为椭圆
x2
3
+
y2
2
=1的左、右焦点，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为D，线段DF2的垂直平分线交l2于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设
F1P
=λ
F1Q
，若λ∈[2，3]，求
F2P
•
F2Q
的取值范围．
已知F1、F2分别为椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则△PF1F2的面积为
9
7
4
9
7
4
．
已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的
2
3
，则椭圆的离心率为
5
3
5
3
．
已知F1，F2分别为双曲线x2-
y2
4
=1的左、右焦点，P是双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为（　　）

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