题目内容

已知函数 $数学公式$ （其中ω＞0），且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（ $数学公式$ -x）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意可得：
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
因为函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，
所以T= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ．
由f（x）=1可得sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
∴cos（ $\text{[math]}$ -x）=cos（x- $\text{[math]}$ ）=-cos（x+ $\text{[math]}$ ）
=-[1-2sin²（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）]=2•（ $\text{[math]}$ ）²-1=- $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）∵（2a-c）cosB=bcosC，并且结合正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB= $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ ，
∴0＜A＜ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ＜sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）＜1．
又∵f（x）=sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，
∴f（A）=sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
故函数f（A）的取值范围是（1， $\text{[math]}$ ）．
分析：（I）根据二倍角公式与两角和的正弦公式可得：f（x）= $\text{[math]}$ ，根据题意可得函数的周期，即可得到函数的解析式，进而根据二倍角公式求出答案．
（II）根据题意结合正弦定理可得：2sinAcosB=sin（B+C），所以cosB= $\text{[math]}$ ，B= $\text{[math]}$ ，所以可得 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ＜sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）＜1，结合f（x）的解析式即可求出函数f（A）的取值范围．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握三角的有关公式与正弦定理，以及三角函数的有关性质．