Question

已知函数，其中x∈（0，1]
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在定义域内，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：由题意知
∵，x∈（0，1]
设t=∈[1，+∞），可求得函数f（x）的解析式为f（x）=定义域为x∈[1，+∞）
（Ⅰ）当a=时，f（x）=x∈[1，+∞）
用定义证明f（x）的单调性如下：
设1≤x₁＜x₂≤2，则f（x₁）-f（x₂）==，
∵1≤x₁＜x₂≤2
∴f（x₁）-f（x_{2 ^）＞0}
故f（x）在[1，2]上单调递减．同理可证f（x）在[2，+∞）上单调递增．
∴f（x）的最小值为f（2）=3．
（Ⅱ）∵x∈[1，+∞），f（x）==恒成立
∴等价于当x∈[1，+∞），ax²+x+2＞0恒成立即可
∴a＞在x∈[1，+∞）恒成立 又∈（0，1]
令g（x）==-2（）²-=-2（+）²+
即g（x）∈[-3，0）
∴a≥0
故a的取值范围[0，+∞）．
分析：先利用换元法求其函数的解析式f（x）=，定义域为x∈[1，+∞），
（Ⅰ）把a的值代入解析式中，化简成“对号”函数的形式，可以直接利用结论：
，在单调递减，可以求出最小值，也可以用定义证明函数的单调性，然后求其最值即可．
（Ⅱ）先化简不等式，f（x）＞0，再由分式不等式等价转化整式不等式ax²+x+2＞0恒成立，然后采用分离常数法求实数a的取值范围即可．
点评：本题对学生的程度要求比较高，有一定的难度，主要考查利用函数单调性求函数的最值，及不等式的等价转化思想．