Question

（12分）如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，，直线B₁C与

平面ABC成30°角。

   （1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；

   （2）求二面角B―B₁C―A的正切值；

   （3）求直线A₁C与平面B₁AC所成的角的正弦值。

Answer 1

解析：（1）三棱柱ABC―A₁B₁C₁为直三棱柱

    底面ABC

    又AC面ABC

    AC

    又

   

    又AC面B₁AC

    …………（6分）

   （2）三棱柱ABC―A₁B₁C₁为直三棱柱

    底面ABC

    为直线B₁C与平面ABC所成的角，即

    过点A作AM⊥BC于M，过M作MN⊥B₁C于N，加结AN。

    ∴平面BB₁CC₁⊥平面ABC

    ∴AM⊥平面BB₁C₁C

    由三垂线定理知AN⊥B₁C从而∠ANM为二面角B―B₁C―A的平面角。

    设AB=BB₁=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

在Rt△B₁BC中，BC=BB₁

   在Rt△BAC中，由勾股定理知

    又

    在Rt△AMC中，

    在Rt△MNC中，

    在Rt△AMN中，

    即二面角B―B₁C―A的正切值为 …………（文12分）

   （3）（理科）过点A₁作A₁H⊥平面B₁AC于H，连结HC，则

    ∠A₁CH为直线A₁C与平面B₁AC所成的角

    由知

   

　　在Rt………………（理12分）