Question

△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且p=sinB+cosB，则p的取值范围是

(1，

2

]

．

Answer 1

分析：根据题意，由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

，化简可得cosB=

1

2

（

a

c

+

c

a

）-

1

2

，结合基本不等式、余弦函数的性质可得

1

2

≤cosB≤1，则B∈（0，60°]；由和差公式可得p=sinB+cosB=

2

sin（B+45°），由正弦函数的性质，结合B+45°的范围，可得p的取值范围，

解答：解：根据题意，b²=ac，
由余弦定理可得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

（

a

c

+

c

a

）-

1

2

，
又由

a

c

+

c

a

≥2

a c • c a

=2，则cosB≥

1

2

，
又由-1≤cosB≤1，
可得

1

2

≤cosB≤1，则B∈（0，60°]，
p=sinB+cosB=

2

sin（B+45°），
又由B∈（0，60°]，可得45°＜B+45°≤105°，
则1＜p≤

2

，故p的取值范围是（1，

2

]；
故答案为（1，

2

]．

点评：本题考查余弦定理、基本不等式、正弦、余弦函数的性质以及和角公式的运用，关键是利用余弦定理和基本不等式求出角B的取值范围．