Question

已知椭圆方程为=1，椭圆长轴的左、右顶点分别为A₁、A₂，P是椭圆上任一点，引A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，且A₁Q与A₂Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程.

Answer 1

思路分析：本题为求点的轨迹方程问题，求点的轨迹方程问题用一般方法可以求解，直接寻找点的横、纵坐标间的关系较麻烦，利用参数方程，寻求横、纵坐标间的间接关系，然后消去参数的方法则相对较简单，即消参法求轨迹方程，是求轨迹的一种常用方法.

解：设椭圆的参数方程为(θ为参数,且0≤θ＜2π).则P点坐标为（acosθ,bsinθ），由题意知cosθ≠1，sinθ≠0.

∵=,=,

∴=,=.

∴A₁Q的方程为y=(x+a),①

A₂Q的方程为y=(x-a).②

①×②，得y²=·(x²-a²)=(x²-a²).

化简整理，得1(λ≠0),即为所求的轨迹方程.