Question

已知椭圆方程为+=1（a＞b＞0），O为原点，F为右焦点，点M是椭圆右准线l上（除去与x轴的交点）的动点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，则线段ON的长为（ ）
A．c
B．b
C．a
D．不确定

Answer 1

【答案】分析：首先结合题意利用点斜式写出直线FN的方程，并且进行整理，设N（x，y），再由ON⊥NM，即斜率之积等于-1得到一个关于x，y的等式，进而把直线FN的方程代入此等式化简，可得x²+y²=a²，即可得到线段ON的长．
解答：解：由题意可得设F（c，0），点M（，m），
∴k_OM=，
由题意可得：OM⊥FN，
∴FN的方程为：y-0=（x-c），
∴整理方程可得：my=（x-c），即my+x=a²①，
∵过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，
∴ON⊥NM，即K_ON•K_NM=-1，
设N（x，y），
∴•=-1，整理可得：x²+y²=x+my  ②，
联立①②得：x²+y²=x+my=a²，
∴|ON|==a．
故选C．
点评：本题主要考查椭圆的简单性质与直线和圆的位置关系的应用，以及考查形式的运算能力与分析问题解决问题的能力，此题在运算方面有一定的技巧，因此在计算时要灵活，此题属于中档题．