Question

已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（2）求的单调区间.

Answer 1

（1）
（2）的单调增区间是，；单调减区间是

本试题主要是考查导数在研究函数中的 运用求解函数的单调性和函数的切线方程的 综合运用。
（1）先求解函数在该点的导数值，然后得到斜率和点的坐标，进而利用点斜式得到直线的方程。
（2）
对于参数a分为大于零，小于零，等于零三种情况分析讨论单调性得到结论。
解：（1）当时，，． ……………2分
由 ， 得曲线在原点处的切线方程是．………4分 
（2）．……………5分
① 当时，．
所以在单调递增，在单调递减．          ……7分
当，．
② 当时，令，得，，与的情况如下：

	↘		↗		↘

 
故的单调减区间是，；单调增区间是．…10分
③ 当时，与的情况如下：

	↗		↘		↗

        
所以的单调增区间是，；单调减区间是………１２分