题目内容

设f（x）=|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b．
（1）求方程f（x）=1的解；
（2）若a，b满足f（a）=f（b）=2f（ $数学公式$ ），试写出a与b的等量关系（至少写出两个）；
（3）在（2）的基础上，证明在这一关系中存在b满足3＜b＜4．

解：（1）由f（x）=1得，lgx=±1所以x=10或 $\text{[math]}$ …..4分
（2）结合函数图象，由f（a）=f（b）可判断a∈（0，1），b∈（1，+∞），…..5分
从而-lga=lgb，从而ab=1…..6分
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，…..7分
因为b∈（1，+∞），所以 $\text{[math]}$ ＞1…..8分
从而由f（b）=2f（ $\text{[math]}$ ）
可得lgb=2lg $\text{[math]}$ =lg（ $\text{[math]}$ ）²，…..9分
从而b=（ $\text{[math]}$ ）²…..10分
（3）由b=（ $\text{[math]}$ ）²
得4b=a²+b²+2ab…..11分
$\text{[math]}$ …..12分
令g（b）= $\text{[math]}$ +b²+2-4b，…..14分
因为g（3）＜0，g（4）＞0，根据零点存在性定理可知，…..15分
函数g（b）在（3，4）内一定存在零点，
即方程 $\text{[math]}$ 存在3＜b＜4的根．…..16分．
分析：（1）根据对数方程直接可求出x的值；
（2）结合函数图象，由f（a）=f（b）可判断a∈（0，1），b∈（1，+∞），去绝对值可得a与b的一个等量关系，根据条件可求出另一个a与b的等量关系；
（3）由b=（ $\text{[math]}$ ）²得 $\text{[math]}$ ，令g（b）= $\text{[math]}$ +b²+2-4b，根据g（3）＜0，g（4）＞0，根据零点存在性定理可知，函数g（b）在（3，4）内一定存在零点．
点评：本题主要考查了对数的运算性质，以及函数零点的判定定理，同时考查了函数的图象，以及转化的思想，属于中档题．