Question

（本小题满分16分）  已知函数，（其中为常数）.

（1）如果函数和有相同的极值点，求的值；

（2）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（1），则，

令，得或，而在处有极大值，

∴，或；综上：或. ----------------4分

（2）假设存在，即存在，使得

，

当时，又，故，

则存在，使得，  ----------------6分

当即时，得，；

当即时，得，无解；

综上：.                                  ----------------9分

（3）据题意有有3个不同的实根， 有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等.

（ⅰ）有2个不同的实根，只需满足；

（ⅱ）有3个不同的实根，

当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；

当即时，不符合题意，舍；

当即时，在处取得极大值，

；所以；

因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故；（注：也对）----------------12分

下证：这5个实根两两不相等，

即证：不存在使得和同时成立；

若存在使得，

由，即，

得，

当时，，不符合，舍去；

当时，既有   ①；

又由，即  ②；

联立①②式，可得；

而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.

综上，当时，函数有5个不同的零点.  ----------------16分.