Question

已知a＞0，且a≠1，f（a^x）=x-．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）设t=a^x，则x=log_at，t＞0
所以，所以，要使函数有意义则
log_ax≥0，若a＞1，则x≥1．若0＜a＜1，则0＜x＜1．
所以若a＞1，函数的定义域为[1，+∞）．若0＜a＜1，函数的定义域为（0，1）
（2）由（1）知，令，则y=f（u）=u²-u，
①当a＞1时，f（u）在u单调递减，在u单调递增．
而，在[1，+∞）恒为单调递增．
所以原函数f（x）在[1，）上单调递减，在[，+∞）单调递增．
②当0＜a＜1时，同理可得，原函数f（x）在（，1）单调递增．
在（0，）单调递增．
分析：（1）利用换元法先求出f（x）的表达式，利用函数的性质确定函数的定义域．
（2）利用换元法先求出f（x）的表达式，然后利用复合函数的单调性判断单调区间．
点评：本题主要考查复合函数的定义域以及复合函数的单调性的判断，综合性较强，难度较大．