题目内容

设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx-2（ω＞2）的最小正周期为
2π
3
．
（1）求ω的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向右平移
π
2
个单位长度，得到了函数y=g（x）的图象，求函数y=g(x)，x∈[-
π
3
，
π
12
]的值域．
（1）函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx-2=1+sin2ωx+2cos2ωx-2=sin2ωx+cos2ωx
=
2
 sin（2ωx+
π
4
 ），
由T=
2π
ω
=
2π
3
，∴ω=
3
2
．
（2）由（1）可知，f（x）=
2
 sin（3x+
π
4
 ），故g（x）=
2
 sin[3（x-
π
2
 ）+
π
4
]=
2
 cos（3x+
π
4
 ），
∵-
π
3
≤ x  ≤
π
12
，∴-
3π
4
≤3 x +
π
4
≤
π
2
，∴-
2
2
≤cos（3x+
π
4
 ）≤1，
-1≤
2
 cos（3x+
π
4
 ）≤
2
，故函数g（x）的值域为[-1，
2
]．
练习册系列答案
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设函数f（x）=
1
3
ax3+bx2+cx（a＜b＜c），其图象在点A（1，f（1）），B（m，f（m））处的切线的斜率分别为0，-a．
（1）求证：0≤
b
a
＜1；
（2）若函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s-t|的取值范围；
（3）若当x≥k时（k是与a，b，c无关的常数），恒有f′（x）+a＜0，试求k的最小值．
设函数f（x）=
ax2+bx+c
（a＜0）的定义域为D，值域为A．
（1）若a=-1，b=2，c=3，则D=
[-1，3]
[-1，3]
，A=
[0，+∞）
[0，+∞）
；
（2）若所有点（s，t）（s∈D，t∈A）构成正方形区域，则a的值为
-4
-4
．
设函数f（x）=ex，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）-ex的单调区间；
（Ⅱ）记曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））（其中x0＜0）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值．
设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点s，t，且s＜t．
（1）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：f(t)＞
1-2ln24
．
设函数f（x）=asin2x-bsin2x+c（x∈R）的图象过点P（0，1），且f（x）的最大值是2，最小值为-2，其中a＞0．
（1）求f（x）表达式；
（2）若射线y=2（x≥0）与f（x）图象交点的横坐标，由小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，…求|xn+2-x2|的值，并求S=x1+x2+…+x10的值．

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