题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2，且
F1P
•
F2P
=-6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，圆C是以MN为直径的圆，其面积为S，求S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程．
（1）设点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），
则
F1P
=(3+c，1)，
F2P
=(3-c，1)，
故
F1P
•
F2P
=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，可得c=4，
所以2a=|PF1|+|PF2|=
(3+4)2+12
+
(3-4)2+12
=6
2
，
故a=3
2
，b2=a2-c2=18-16=2，
所以椭圆E的方程为
x2
18
+
y2
2
=1．　　　　　　
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），
则
F1M
=(9，m)，
F2N
=(1，n)，又
F1M
⊥
F2N
，
可得
F1M
•
F2N
=9+mn=0，即mn=-9，
又|MN|=|m-n|=|m|+|n|≥2
|m|•|n|
=2
9
=6，（当且仅当|m|=|n|时取等号）
故Smin=π(
6
2
)2=9π，且当S取最小值时，
有m=3，n=-3或m=-3，n=3，
此时圆C的方程为（x-5）2+y2=9．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
2
-1），求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
 （1）求椭圆E的方程；
 （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
（2012•佛山二模）已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，而且过点H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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