题目内容

定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f(
1
2
)=0，则满足f(log
1
4
x)＜0的x的集合为（　　）
A、(-∞，
1
2
)∪(2，+∞)
B、(
1
2
，1)∪(1，2)
C、(
1
2
，1)∪(2，+∞)
D、(0，
1
2
)∪(2，+∞)
分析：由于函数y=f（x）为R上的偶函数，所以f（x）=f（|x|），又由于y=f（x）在[0，+∞）上单调递减，所以要求的f(log
1
4
x)＜0?f(|log
1
4
x|)＜0=f(
1
2
)?|log
1
4
x|＞
1
2
，然后解出含绝对值的对数不等式即可．
解答：解：因为定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f(
1
2
)=0，则满足f(log
1
4
x)＜0
?f(|log
1
4
x|)＜0=f(
1
2
)?|log
1
4
x|＞
1
2
?
log
1
4
x≥0
log
1
4
x＞
1
2
或
log
1
4
x＜0
-log
1
4
x＞
1
2
?0＜x＜
1
2
或x＞2
故选D．
点评：此题考查了若函数为偶函数，则f（|x|）=f（x）这一结论，还考查了函数的单调性及含绝对值的对数函数不等式的求解．
练习册系列答案
相关题目
17、定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
②f（0）=-1；
③当x∈（-1，0）时，都有f′（x）＜0．
若方程f（x）=0在区间[a，3]上恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是
（-3，-1]
．
定义在R上的偶函数y=f（x）满足：①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）；②当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
＞0，若方程f（x）=0在区间[a，8-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是
（-7，-3）
（-7，-3）
．
定义在R上的偶函数y=f（x）在（-∞，0]上递增，函数f（x）的一个零点为-
1
2
，求满足f（log
1
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x）≥0的x的取值集合．
定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈（0，1]时单调递增，则（　　）
定义在R上的偶函数y=f （x）满足f （ x+2 ）=-f （x）对所有实数x都成立，且在[-2，0]上单调递增，a=f（
3
2
），b=f（
7
2
），c=f（log 
1
2
8），则a，b，c的由大到小顺序是（用“＞”连 结）
 
．

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