Question

16．已知sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，0≤α≤π，求sin（2α-$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 由题意和同角三角函数基本关系可得sinα和cosα，进而由二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入两角差的正弦公式计算可得．

解答 解：∵sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，sin²α+cos²α=1，
又∵0≤α≤π，∴sinα≥0，
解方程组可得：$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{4}{5}}\\{cosα=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
cos2α=cos²α-sin²α=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{24}{25}-\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{7}{25}）$=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．
故答案为：$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．