Question

（2013•浙江模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=

1

4

，a_n+1=S_n+

t

16

（n∈N^*，t为常数）．
（Ⅰ）若数列{a_n}为等比数列，求t的值；
（Ⅱ）若t＞-4，b_n=lga_n+1，数列{b_n}前n项和为T_n，当且仅当n=6时T_n取最小值，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，结合数列{a_n}为等比数列，即可求t的值；
（Ⅱ）确定数列{b_n}是等差数列，利用当且仅当n=6时，T_n取最小值，可得b₆＜0且b₇＞0，解不等式，即可求t的取值范围．

解答：解：（I）∵an+1=Sn+

t

16

…(1)；an=Sn-1+

t

16

…(2)
（1）-（2）得：a_n+1=2a_n（n≥2）…（2分）
∵数列{a_n}为等比数列，∴

a2

a1

=2…..（4分）
∵a2=S1+

t

16

=

4+t

16

，a₁=

1

4

，
∴

4+t

4

=2，∴t=4…（6分）
（II）a2=

4+t

16

，a_n+1=2a_n（n＞1），∴an+1=

4+t

16

•2n-1(n∈N*)…．（8分）
∵a₂，a₃，a₄…a_n+1成等比数列，b_n=lga_n+1，
∴数列{b_n}是等差数列
∵数列{b_n}前n项和为T_n，当且仅当n=6时，T_n取最小值，∴b₆＜0且b₇＞0…（10分）
可得0＜a₇＜1且a₈＞1，…（12分）
∴0＜16+4t＜1且32+2t＞1，
∴-

15

4

＜t＜-

7

2

…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．