Question

如图所示，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．

(1)求证：B_lC∥平面A_lBD；

(2)求二面角A_l一BD―A的大小；

(3)求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的大小．

Answer 1

解：(1)设A₁B与AB₁相交于点P，连接PD．

   ∵D为AC的中点，∴PD//B₁C

    又∵PD平面A₁BD，∴B_lC//平面A_lBD．

    (2)∵正三棱柱ABC―A_l B_lC_l，∴AA_l⊥底面ABC，

    又∵BD⊥AC，∴A_l D⊥BD，

    ∵∠A₁DA就是二面角A₁一BD―A的平面角，

    ∵A_lA=，AD=AC=1，∴tan∠A_lDA=，∴∠A₁DA=．

    即二面角A₁一BD―A的大小为．

(3)由(2)作AM⊥A₁D，M为垂足，又BD平面ABD，AM⊥BD，又A_lD∩BD=D，

∴AM⊥平面A₁DB，连接MP，则∠APM就是直线AB_l与平面A₁BD所成的角，

    又AM=1×sin60°=，AP=．

    ∴sin∠APM=，即∠APM=arcsin。

    ∴直线AB₁与平面A₁BD所成角的大小为arcsin。