Question

如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，侧棱长是

3

，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点A到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，则P为AB₁中点，由此能够证明B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中点，知BD⊥AC，由平面AA₁C₁C⊥平面ABC，知BD⊥平面AA₁C₁C，故BD⊥A₁D，∠A₁DA为二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的大小．
（Ⅱ）法二：建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-BD-A的大小．
（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A₁D，设点A到平面A₁BD的距离为d，利用等积法能求出点A到平面A₁BD的距离．
（Ⅲ）法二：由（Ⅱ）得

DA

=（1，0，0），n=（-

3

，0，1），利用向量法能求出点A到平面A₁BD的距离．

解答：解：（Ⅰ）证明：设AB₁与A₁B相交于点P，连接PD，
则P为AB₁中点，
∵D为AC中点，
∴PD∥B₁C．
又∵PD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中D是AC的中点，
知BD⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁D，
故∠A₁DA为二面角A₁-BD-A的平面角，
又AD⊥A₁A，A1A=

3

，AD=1，
∴∠A₁DA=60°，即二面角A₁-BD-A的大小为60°．…（8分）
（Ⅱ）解法二：如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），A₁（1，0，

3

），
B（0，

3

，0），B₁（0，

3

，

3

），
∴

A1B

=（-1，

3

，-

3

），

A1D

=（-1，0，-

3

），
设平面A₁BD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

•

A1B

=-x+

3

y-

3

z=0，

n

•

A1D

=-x-

3

z=0
则有

x=- 3 z y=0

，令z=1，得

n

=（-

3

，0，1）
由题意，知

AA1

=（0，0，

3

）是平面ABD的一个法向量．
设

n

与

AA1

所成角为θ，
则cosθ=

n• AA1

|n|•| AA1 |

=

1

2

，∴θ=

π

3

，
∴二面角A₁-BD-A的大小是

π

3

…（8分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A₁D，
设点A到平面A₁BD的距离为d，
∴VA1-ABD=

1

3

S△ABD•A1A=VA-A1BD=

1

3

S△A1BD•d，
故

1

3

S△ABD•A1A=

1

3

×

1

2

×1×

3

×

3

=

1

3

S△A1BD•d=

1

3

×

1

2

×

3

×

12+( 3 )2

×d
解得：d=

3

2

，
即点A到平面A₁BD的距离为d=

3

2

．…（12分）
（Ⅲ）解法二：由（Ⅱ）已知，
得

DA

=（1，0，0），

n

=（-

3

，0，1）
则d=

| DA •n|

|n|

=

3

2

即点A到平面A₁BD的距离为d=

3

2

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行、二面角、点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．