题目内容

如图，已知 $数学公式$ 且 $数学公式$
（1）试用 $数学公式$ ，
（2）若 $数学公式$ ，求点C的坐标．

解：（1）∵已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
（2）设点C的坐标为（x，y），则 $\text{[math]}$ =（-1，1）， $\text{[math]}$ =（x- $\text{[math]}$ ，y- $\text{[math]}$ ），
∵ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
故点C的坐标为（2，2）．
分析：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ ，利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
（2）设点C的坐标为（x，y），由 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，解得x、y的值，即可求得点C的坐标．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．

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（2012•湖南模拟）选做题（请考生在第16题的三个小题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分，要写出必要的推理与演算过程）
（1）如图，已知Rt△ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，试求BD的长．
（2）已知曲线C的参数方程为

（θ为参数），求曲线C上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值．
（3）若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则

，当且仅当

时上式取等号．请利用以上结论，求函数f（x）=

）的最小值．

（2012•江苏二模）如图，已知椭圆C：

+y2=1，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
（1）设P是椭圆C上任意一点，若

，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

附加题：（选做题：在下面A、B、C、D四个小题中只能选做两题）
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，
已知AB=6，CD=2

，求线段AC的长度．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1及对应的一个特征向量e1=

和特征值λ₂=2及对应的一个特征向量e2=

，试求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

如图，已知：椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，试证明：当点P（m，n）在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．

如图，已知椭圆Γ：

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F₁Q|=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点M在线段F₂Q上，且满足

|≠0．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）