Question

已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若，证明：△ABC为等边三角形．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通过已知表达式，去分母化简，利用两角和与差的三角函数，化简表达式通过正弦定理直接推出b+c=2a；
（Ⅱ）利用函数的周期求出ω，通过，求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．
解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin（A+B）+sin（A+C）
=2sinA…（3分）
sinC+sinB=2sinA…（5分）
所以b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）由题意知：由题意知：，解得：，…（8分）
因为，A∈（0，π），所以…（9分）
由余弦定理知：…（10分）
所以b²+c²-a²=bc因为b+c=2a，所以，
即：b²+c²-2bc=0所以b=c…（11分）
又，所以△ABC为等边三角形．…（12分）
点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．