题目内容

过原点O的直线l与椭圆C： $数学公式$ 交于M，N两点，P是椭圆C上异于M，N的任一点．若直线PM，PN的斜率之积为 $数学公式$ ，则椭圆C的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：设点的坐标，表示出直线PM，PN的斜率，利用直线PM，PN的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，结合点差法，化简，即可求得离心率．
解答：设P（x，y），M（m，n），N（-m，-n），则直线PM，PN的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∵直线PM，PN的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∵M，P是椭圆C上的点
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
两式相减可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴a=2b，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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（2013•怀化三模）已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)过点(

)，离心率e=

，若点M（x₀，y₀）在椭圆C上，则点N(

)称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

（2011•浦东新区三模）已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F₁、F₂，抛物线M：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F₂，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的方程；
（3）由抛物线弧y²=4mx(0≤x≤

≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A₁、A₂落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA₁A₂，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．

，若点M（x，y）在椭圆C上，则点

称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
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，若点M（x，y）在椭圆C上，则点

称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
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已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F₁、F₂，抛物线M：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
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（3）由抛物线弧y²=4mx

（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A₁、A₂落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA₁A₂，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．